【题目】如图1，已知：抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=x-2，连结AC．
（1）B、C两点坐标分别为B（ ， ）、C（ ， ），抛物线的函数关系式为 ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 4，0，0，-2，y=
x2-
x-2；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析；（3）D（-，0），（2，0）．
【解析】
试题分析：（1）先利用一次函数解析式和坐标轴上点的坐标特征确定C点和B点坐标，然后把C点和B点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先解方程x2-x-2=0确定A（-1，0），再利用两点间的距离公式计算出AC2=5，BC2=20，AB2=25，然后根据勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形；
（3）分类讨论：当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与C重合，如图1，设CG=x，证明△AGD∽△ACB，利用相似比得到DG=（
-x），根据矩形面积公式得到S矩形DEFG=-
x2+
x，则利用二次函数的性质可确定x=时，矩形DEFG的面积最大，最大值为
；当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，如图2，CO交GF于H，设DG=x，则OH=x，CH=2-x，通过证明△CGF∽△CAB，利用相似比得到GF=（2-x），则S矩形DEFG=-x2+5x，则根据二次函数的性质得到x=1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为，然后比较两个面积的最大值得到矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，矩形的面积最大，接下来利用相似比计算此时OD，从而得到OE的长，于是得到它们的坐标．
试题解析：（1）当x=0时，y=x-2=-2，则C（0，-2），
当y=0时， x-2=0，解得x=4，则B（4，0），
把B（4，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c得
，解得
，
所以抛物线解析式为y=x2-x-2，
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=4，则A（-1，0），
∵AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=5+20=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（3）能．
当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与C重合，如图1，设CG=x，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB，
∴AG：AC=DG：BC，即（-x）：=DG：2，解得DG=（-x），
∴S矩形DEFG=x（-x）=-x2+x=-（x-）2+，
此时x=时，矩形DEFG的面积最大，最大值为，
当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，如图2，CO交GF于H，设DG=x，则OH=x，CH=2-x，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴GF：AB=CH：CO，即GF：5=（2-x）：2，解得GF=（2-x），
∴S矩形DEFG=x（2-x）=-x2+5x=-（x-1）2+，
此时x=1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为，
综上所述，当矩形DEFG两个顶点D、E在AB上时，矩形的面积最大，如图2，
∵DG=1，
∴DE=×（2-1）=，
∵DG∥O，
∴△ADG∽△ACO，
∴AD：AO=DG：OC，即AD：1=1：2，解得AD=，
∴OD=，
∴OE=-=2，
∴D（-，0），（2，0）．
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【题目】下列各组的两个图形一定相似的是( )
A. 两个矩形 B. 等腰梯形两腰中点的连线把它分成的两个等腰梯形
C. 对应边成比例的两个多边形 D. 有一个角相等的两个菱形
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【题目】在平面直角坐标系中,将三角形各点的纵坐标都减去6,横坐标保持不变,所得图形与原图形相比（ ）
A. 向右平移了6个单位 B. 向左平移了6个单位
C. 向上平移了6个单位 D. 向下平移了6个单位
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【题目】面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40 000元、电视机总额为15 000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？
（1）设购买电视机x台，依题意填充下列表格：
项目 家电种类 | 购买数量（台） | 原价购买总额（元） | 政府补贴返还比例（元） | 补贴返还总金额 | 每台补贴返还 金额（元） |
冰箱 | 40000 | 13% | |||
电视机 | x | 15000 | 13% |
（2）列出方程（组）并解答．
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