分析 （1）分别确定A、B、C的坐标，利用待定系数法可得二次函数的表达式；
（2）根据A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可得点F的可能坐标，再由点F在抛物线上，可最终确定；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得G点坐标，根据点在函数图象上，可得P（t，t2-2t-3），根据待定系数法，可得直线AG的解析式，根据PQ平行于y轴，可得Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得Q点的纵坐标，根据线段的和差，可得PQ的长，根据面积的和差，可得用x表示出三角形的面积，根据二次函数的最值，可得答案．
解答 解：（1）∵点B的坐标为（3，0），OB=OC，
∴点C的坐标为（0，-3），
又∵tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴OA=1，
∴点A的坐标为（-1，0），
将A、B、C三点坐标代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3．
（2）在该抛物线上存在点F（2，-3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
理由：由（1）得D（1，-4），则直线CD的解析式为：y=-x-3，
故E点的坐标为（-3，0），
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴F点的坐标为（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3），
代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合．
∴抛物线上存在点F（2，-3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
（3）过点P作PQ∥y轴，交AG于点Q，则P（t，t2-2t-3），
∵G（2，y）在此抛物线上，
∴y=22-2×2-3=-3，
∴点G（2，-3），
设直线AG的解析式为：y=kx+b，
把A（-1，0），G（2，-3）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AG的解析式为：y=-x-1，
∴点Q（t，-t-1），
∴PQ=（-t-1）-（t2-2t-3）=-t2+t+2，
∴S=S△APG=S△APQ+S△PGQ=$\frac{1}{2}$×（-t2+t+2）×[2-（-1）]=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t+3=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{27}{8}$，
∴此时P点的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），S△APG最大=$\frac{27}{8}$．
点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，分类讨论思想的应用是解此题的关键．
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如图，是一次函数y=kx+b的图象，下面哪个点在图象上（ ）
如图，数a，b在数轴上对应位置是A、B，则用“＜”把-a，-b，a，b的大小关系排列为-b＜a＜-a＜b．