Question

【题目】如图，已知：在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB于E,PF⊥BC于F.

（1）试判断线段EF与PD的长是否相等，并说明理由.

（2）若点O是AC的中点，判断OF与OE之间有怎样的位置和数量关系？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）相等，理由见解析；（2）OF与OE垂直且相等，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）连接BP，易证四边形EPFB是矩形，由矩形的性质即可证明EF=PD；

（2）OF与OE垂直且相等，连接BO，证明△EBO与△FCO全等即可．

解：(1)EF=PD，理由如下：

连接BP，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°,AD=AB,∠DAP=∠BAP=45°，

在△BAP和△DAP中，

，

∴PD=PB,

∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，

∴∠PEB=∠PFB=90°，

∴四边形EPFB是矩形，

∴EF=PB，

∴EF=PD；

(2)OF与OE垂直且相等，理由如下：

连接BO，

∵点O是AC的中点，

∴∠EBO=∠FCO=45°，

∵BF=EP，AE=EP，

∴AE=BF，

∴BE=CF，

在△EBO和△FCO中

，

∴△EBO≌△FCO，

∴OE=OF，∠EOB=∠COF，

∵OB⊥AC，

∴∠BOC=90°，

∴∠COF+∠BOF=90°，

∴∠EOB+∠BOF=90°，

即OE⊥OF.