Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）方程ax²+bx+c=0的两个根是：x₁=1，x₂=3．
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是：1＜x＜3．
（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞2．
（4）若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是：k＜2．
其中正确结论有______．（填写正确的序号）

Answer 1

解：由图象可得y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴两交点坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴方程ax²+bx+c=0的两个根是：x₁=1，x₂=3，选项（1）正确；
由图象可得：不等式ax²+bx+c＞0的解集为1＜x＜3，选项（2）正确；
∵抛物线对称轴为直线x=2，且开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，选项（3）正确；
方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根可以看做y=ax²+bx+c与y=k的交点有两个，
如图所示：

根据图象可得：当k＜2时，方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，选项（4）正确，
则正确的选项有（1）（2）（3）（4）．
故答案为：（1）（2）（3）（4）
分析：由已知的图象可得抛物线与x轴交于两个点，坐标分别为（1，0）和（3，0），利用对称性可得出抛物线的对称轴为直线x=2，可得出令二次函数解析式中y=0得到的一元二次方程的解分别为1和3，选项（1）正确；再由抛物线在x轴上方部分时，函数值大于0，可得出此时x的范围，即可判断（2）正确与否；由对称轴为x=2，且抛物线开口向下，可得出在对称轴右边是减函数，可得出x大于2时，y随x的增大而减小，选项（3）正确；ax²+bx+c=k可看做y=ax²+bx+c与y=k两函数的交点横坐标，当两函数有两个交点时，方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，由函数图象可得出此时k的范围，即可判断（4）正确与否，综上，得到正确结论的序号．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数与不等式，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中的重要思想，学生做题时要注意灵活运用．