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如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E、F分别是AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.连接BD.
(1)图中有几对三角三全等?试选取一对全等的三角形给予证明;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
(3)当△BEF的面积取得最小值时,试判断此时EF与BD的位置关系.
分析:(1)根据题意可判断出AE=DF,DE=CF,从而结合菱形的性质即可得出全等三角形的对数,选择一对进行证明即可.
(2)根据(1)可得出BE=BF,∠EBF=60°,继而可判定△BEF为正三角形.
(3)设BE=BF=EF=x,则可表示出△BEF的面积与x的关系,可得出此时EF与BD的位置关系.
解答:解:(1)△BAE≌△BDF,△BDE≌△BCF,△BAD≌△BCD,共三对;
证明:△BDE≌△BCF.
在△BDE和△BCF中,
BD=BC
∠C=∠BDE
DE=CF

故△BDE≌△BCF.

(2)△BEF为正三角形.
理由:∵△BDE≌△BCF,
∴∠DBE=∠CBF,BE=BF,
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°,
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°,
∴△BEF为正三角形;

(3)设BE=BF=EF=x,
则S△BEF=
1
2
•x•x•sin60°=
3
4
x2
当BE⊥AD时,x最小=2×sin60°=
3
,此时△BEF的面积最小,
此时点E、F分别位于AD、CD的中点,
故此时BD垂直平分EF.
点评:此题考查了菱形的性质,综合考查了正三角形的判定,全等三角形的判定与性质,难度较大,解答最后一问关键是判断点E及点F的位置.
练习册系列答案
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3
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