Question

【题目】如图，抛物线L：y=﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y= （k＞0，x＞0）于点P，且OAMP=12．

（1）求k的值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设P（x，y）则MP=y，

∵M为OA的中点，

∴OA=2x，

∵OAMP=12，

∴2xy=12，

∴xy=6，

∴k=6

（2）

解：当t=1，y=0时，0=﹣ （x﹣1）（x﹣1+4），解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0）、B（﹣3，0），

∴AB=4；

∴抛物线L的对称轴为直线x= =﹣1，

∵OA=1，

∴MP为直线x= ，

∴直线MP与L对称轴之间的距离为

（3）

解：在y=﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）中，令y=0可得﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）=0，解得x=t或x=t﹣4，

∴A（t，0），B（t﹣4，0），

∴抛物线L的对称轴为直线x= =t﹣2，

又∵MP为直线x= ，

∴当抛物线L的顶点在直线MP上或左侧时，即t﹣2≤ 时，解得t≤4，此时，顶点（t﹣2，2）为图象G最高点的坐标；

当抛物线L的顶点在直线MP右侧时，即t﹣2＞ 时，解得t＞4，此时时，交点直线MP与抛物线L的交点为（ ，﹣ t2+t），为图象G最高点的坐标

【解析】（1）设P（x，y），则可表示出MP，由M为OA的中点，可求得OA，由条件可求得xy，则可求得k的值；（2）把t=1，代入抛物线解析式，令y=0可求得A、B两点的坐标，可求得AB的长，再求得抛物线的对称轴和直线MP的方程，可求得直线MP与对称轴之间的距离；（3）可用t表示出A、B两点的坐标，进一步可表示出直线MP的解析式，再根据顶点的位置可求得其最大值，可表示出G的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解反比例函数的概念的相关知识，掌握形如y＝k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．自变量x的取值范围是x不等于0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，以及对反比例函数的图象的理解，了解反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点．