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    13．如图（1），抛物线W1：y=-x2+4x与x轴的正半轴交于点B，顶点为A，抛物线W2与W1关于x轴对称，顶点为D．
    （1）求抛物线W2的解析式；
    （2）将抛物线W2向右平移m个单位，点D的对应点为D′，点B的对应点为B′，则当m为何值时，四边形AOD′B′为矩形？请直接写出m的值．
    （3）在（2）的条件下，将△AOD′沿x轴的正方向向右平移n个单位（0＜n＜5），得到△A′O′D′′，AD′分别与O′A′、O′D′′交于点M、点P，A′D′′分别与AB′、B′D′交于点N、点Q．
    ①求当n为何值时，四边形MNQP为菱形？
    ②若四边形MNQP的面积为S，求S关于n的函数关系式；并求当n为何值时，S的值最大？最大值为多少？

    分析 （1）把二次函数的解析式化为顶点式即可得到点A坐标为（2，4），由抛物线W2与W1关于x轴对称，得到点D坐标为（2，-4），于是得到抛物线W2的解析式；（2）根据点A坐标为（2，4），得到直线OA=2x，求得直线OD′的解析式为y=-$\frac{4}{2+m}$x，由于AO⊥OD′，得到2×（-$\frac{4}{2+m}$）=-1，于是得到结论；
    （3）①当y=0时，解方程得到x1=0，x2=4．得到点B坐标为（4，0），得到OB′=10；设矩形AOD′B′的对角线AD′与OB′交于点E，A′D′′与x轴交于点F．根据矩形的性质AE=OE=B′E=D′E=5，根据平行线的性质得到∠EMO′=∠MO′E，∠EO′P=∠EPO′，推出四边形MEFN，EPQF为平行四边形．四边形MNQP为平行四边形，根据菱形的性质即可得到结论；
    ②过M作MH⊥x轴，垂足为H，过A作AG⊥x轴，垂足为G，根据相似三角形的判定和性质得到MH=$\frac{4}{5}$（5-n），根据三角形的面积公式即可得到结论．

    解答 解：（1）由y=-x2+4x=-（x-2）2+4得，点A坐标为（2，4），
    ∵抛物线W2与W1关于x轴对称，
    ∴点D坐标为（2，-4），
    ∴抛物线W2的解析式为y=（x-2）2-4，即y=x2-4x，

    （2）∵点A坐标为（2，4），
    ∴直线OA=2x，
    ∵点D坐标为（2，-4），
    ∴D′（2+m，-4），
    ∴直线OD′的解析式为y=-$\frac{4}{2+m}$x，
    ∵四边形AOD′B′为矩形，
    ∴AO⊥OD′，
    ∴2×（-$\frac{4}{2+m}$）=-1，
    ∴m=6，
    ∴当m的值为6时，四边形AOD′B′为矩形；

    （3）①当y=0时，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=4．
    ∴点B坐标为（4，0），
    又∵m=6，
    ∴B′坐标为（10，0），
    ∴OB′=10；
    设矩形AOD′B′的对角线AD′与OB′交于点E，A′D′′与x轴交于点F．．
    ∵四边形AOD′B′为矩形，
    ∴AE=OE=B′E=D′E=5，
    ∴∠OAE=∠AOE，∠EOD′=∠DOE．
    ∵A′O′∥AO，O′D′′∥OD′，
    ∴∠EMO′=∠MO′E，∠EO′P=∠EPO′，
    ∴ME=EO′=EP，
    ∵OE=5，OO′=n，
    ∴O′E=5-n，
    ∴ME=EP=5-n．
    同理NF=FQ=FB′=5-n．
    ∵MP∥NQ，
    ∴四边形MEFN，EPQF为平行四边形．
    ∴MN∥EF∥PQ，
    ∴四边形MNQP为平行四边形，
    ∴当MN=MP时，四边形MNQP为菱形．
    ∵MN=AA′=n，MP=2O′E=10-2n．
    ∴n=10-2n．
    解得n=$\frac{10}{3}$．
    ∴当n=$\frac{10}{3}$时，四边形MNQP为菱形；

    ②过M作MH⊥x轴，垂足为H，过A作AG⊥x轴，垂足为G，
    则△MHE∽△AGE，
    ∴$\frac{MH}{ME}=\frac{AG}{AE}$，
    ∴$\frac{MH}{5-n}$=$\frac{4}{5}$，
    ∴MH=$\frac{4}{5}$（5-n），
    ∴S=2S□MEFN=2×$\frac{4}{5}$（5-n）-n=-$\frac{8}{5}$n2+8n，
    ∵S=-$\frac{8}{5}$（n-$\frac{5}{2}$）2+10，∵-$\frac{8}{5}$＜0，
    ∴当n=$\frac{5}{2}$时，S的值最大，最大值为10．

    点评 本题考查了求二次函数的解析式，轴对称的性质，矩形，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，二次函数的最大值问题，正确的理解题意是解题的关键．

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