Question

11．已知直线y=kx+b，经过点A（0，2），B（-4，0）和抛物线y=x²．
（1）求直线解析式；
（2）将抛物线y=x²沿着x轴向右平移，平移后的抛物线与y轴交于点C，对称轴右侧部分抛物线与直y=kx+b交于点D，连接CD，当CD∥x轴时，求平移后得到的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）将A（0，2），B（-4，0）代入y=kx+b，运用待定系数法即可求解；
（2）设抛物线y=x²沿着x轴向右平移h个单位（h＞0），根据“左加右减”的平移规律得到y=（x-h）²，即y=x²-2hx+h²，则点C坐标为（0，h²）．由CD∥x轴，得出D点纵坐标为h²，将y=h²代入y=$\frac{1}{2}$x+2，求出D（2h²-4，h²）．根据C、D关于抛物线y=（x-h）²对称，列出方程$\frac{0+2{h}^{2}-4}{2}$=h，解方程即可．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（0，2），B（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2；

（2）设抛物线y=x²沿着x轴向右平移h个单位（h＞0），得到y=（x-h）²，即y=x²-2hx+h²，
则点C坐标为（0，h²）．
∵CD∥x轴，
∴D点纵坐标为h²，
将y=h²代入y=$\frac{1}{2}$x+2，得h²=$\frac{1}{2}$x+2，解得x=2h²-4，即D（2h²-4，h²）．
∵C、D关于抛物线y=（x-h）²对称，
∴$\frac{0+2{h}^{2}-4}{2}$=h，
解得h₁=2，h₂=-1（不合题意舍去），
∴平移后得到的抛物线的解析式为y=（x-2）²，即y=x²-4x+4．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象与几何变换，平行于x轴的直线上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，难度适中．求出D点坐标是解（2）题的关键．