Question

17．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点E（3，4），与线段BC交于点D，直线y=-$\frac{1}{2}$x+b过点D，与线段AB相交于点F，连接OF，OE，请你探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=12，则反比例函数的解析式y=$\frac{12}{x}$；再利用正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征可确定D（4，3），根据函数图象上点的坐标特征可求出b=5，从而可确点F的坐标为（2，4），取BC的中点G，连结EG并延长交x轴于H，连结OG，如图，先证明△OAF≌△OCG得到∠AOF=∠2，接着证明△EGB≌△HGC得到EG=HG，EB=CH，然后证明OE=OH得到△OEH为等腰三角形，则根据等腰三角形的性质得OG平分∠EOG，即∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠AOF，于是得到∠AOF=$\frac{1}{2}$∠EOC．

解答 解：∠AOF=$\frac{1}{2}$∠EOC．理由如下：
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴k=3×4=12．
∴反比例函数的解析式y=$\frac{12}{x}$；
∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），
∵点D在直线y=-$\frac{1}{2}$x+b上，
∴-$\frac{1}{2}$×4+b=3，解得b=5，
∴直线DF为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
将y=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+5，得4=-$\frac{1}{2}$x+5，解得x=2，
∴点F的坐标为（2，4），
取BC的中点G，连结EG并延长交x轴于H，连结OG，如图，
在△OAF和△OCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAF=∠OCG}\\{AF=CG}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△OCG（SAS），
∴∠AOF=∠2，
在△EGB和△HGC，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠GCH}\\{∠BGE=∠CGH}\\{BG=CG}\end{array}\right.$，
∴△EGB≌△HGC（ASA），
∴EG=HG，EB=CH，
∵E（3，4），B（4，4），
∴BE=1，
∴CH=1，
∴OH=5，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OE=OH，
∴△OEH为等腰三角形，
而EG=HG，
∴OG平分∠EOG，即∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠AOF，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠EOC．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；会用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式；灵活运用等腰三角形的性质．