Question

已知：x²-5x+1=0．求：（1）x+

1

x

  （2）x²+

1

x2

  （3）x³+

1

x3

  （4）x⁴+

1

x4

．

Answer 1

考点：分式的混合运算,完全平方公式

专题：

分析：（1）根据移项，可得x²+1的值，根据分式的性质，可得答案；
（2）根据完全平方公式：平方和等于和的平方减积的二倍，可得答案；
（3）根据（x+

1

x

）（x²+

1

x2

），可得答案；
（4）根据完全平方公式：平方和等于和的平方减积的二倍，可得答案．

解答：解：由x²-5x+1=0，得
x²+1=5x．
（1）x+

1

x

=

x2+1

x

=

5x

x

=5；
（2）x²+

1

x2

=（x+

1

x

）²-2=5²-2=25-2=23；
（3）x³+

1

x3

=（x+

1

x

）（x²+

1

x2

）-（x+

1

x

）=5×23-5=110，
（4）x⁴+

1

x4

=（x²+

1

x2

）²-2=23²-2=529-2=527．

点评：本题考查了完全平方公式，（1）利用等式的性质得出x²+1的值是解题关键，（2）利用了完全平方公式：平方和等于和的平方减积的二倍，（3）利用了分式的乘法．