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10.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.
(1)若AD=2,求AB;
(2)若AB+CD=2$\sqrt{3}$+2,求AB.

分析 (1)在四边形ABCD中,由∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,得∠BDF=∠ADC-∠ADB=165°-105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,求得AE,利用锐角三角函数得BE,得AB;
(2)设DE=x,利用(1)的某些结论,特殊角的三角函数和勾股定理,表示AB,CD,得结果.

解答 解:(1)过D点作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD,
∵∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠ABC=360°-45°-45°-105°=165°,
∴∠BDF=∠ADC-∠ADB=165°-105°=60°,
△ADE与△BCF为等腰直角三角形,
∵AD=2,
∴AE=DE=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$,
∵∠ABC=105°,
∴∠ABD=105°-45°-30°=30°,
∴BE=$\frac{DE}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{6}$,
∴AB=$\sqrt{2}$$+\sqrt{6}$;

(2)设DE=x,则AE=x,BE=$\frac{x}{tan30°}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}x$,
∴BD=$\sqrt{{x}^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}}$=2x,
∵∠BDF=60°,
∴∠DBF=30°,
∴DF=$\frac{1}{2}BD$=x,
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{(2x)^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}x$,
∴CF=$\sqrt{3}x$,
∵AB=AE+BE=$x+\sqrt{3}x$,
CD=DF+CF=x$+\sqrt{3}x$,
AB+CD=2$\sqrt{3}$+2,
∴AB=$\sqrt{3}$+1

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质,解题的关键是作辅助线DE、BF,构造直角三角形,求出相应角的度数.

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