Question

20．如图，△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．
求证：AE=AF．

Answer 1

分析 过点C作CG∥AB交EF于G，根据两直线平行，同位角相等可得∠AEF=∠CGF，内错角相等可得∠B=∠DCG，利用“角边角”证明△CDF和△BDE全等，则CG=BE=CF，再根据等边对等角可得∠F=∠CGF，然后求出∠F=∠AEF，再根据等角对等边可得AE=AF．

解答 证明：过点C作CG∥AB交EF于G，
∴∠AEF=∠CGF，∠B=∠DCG，
在△CDF和△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCG}\\{CD=BD}\\{∠CDG=∠BDE}\end{array}\right.$
∴△CDF和△BDE（ASA），
∴CG=BE，
∵BE=CF，
∴CF=CG，
∴∠F=∠CGF，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．