Question

6．一个列数是按以下规律组成的：
$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{1}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{4}{2}$，$\frac{5}{1}$，$\frac{1}{6}$，…
（1）$\frac{27}{40}$是数列中的第2172项；
（2）第180项是哪个分数？$\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 可以看出分子分母相加为n，这组就有n-1个数，
（1）先求出分子分母相加小于67的数的个数，加上27即可得出$\frac{27}{40}$在数列中的项数；
（2）先求出n=18时数列{a_n}的项数为171，180-171=9可得第180项的分子，由于第180项分子、分母之和为19，则第180项为$\frac{9}{10}$．

解答 解：根据题意分组得：$\frac{1}{1}$，（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$），（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$），（$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{1}$），（$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{4}{2}$，$\frac{5}{1}$），$\frac{1}{6}$，…
若分子分母相加为n，这组就有n-1个数，
（1）∵40+27=67，
∴$\frac{27}{40}$所在组有66个数，
则前一组就有65个数，依此类推前面所有组的数的个数为：1+2+3+4+…+65=2145，
而2145+27=2172，
所以$\frac{27}{40}$是数列中的第2172项；

（2）1+2+3+4+••+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
当n=18时，1+2+3+…+18=171，
所以第180项分子、分母之和为19，第180项即为$\frac{9}{10}$．
故答案为：2172，$\frac{9}{10}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算的规律，利用规律解决问题．