Question

【题目】如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8

Answer 1

【答案】B

【解析】

设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.

如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，

此时垂线段OP最短，PF最小值为，

∵，，

∴

∵，

∴

∵点O是AB的三等分点，

∴，，

∴，

∵⊙O与AC相切于点D，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴MN最小值为，

如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，

MN最大值，

,

∴MN长的最大值与最小值的和是6．

故选：B．