Question

已知a，b为正整数，且a为素数（也称为质数），a²+b²是一个完全平方数，试用含a的代数式表示b=

 

．

Answer 1

分析：根据a²+b²是一个完全平方数，令a²+b²=c²，利用平方差公式因式分解，然后分a=2或a为奇质数两种情况讨论求解．

解答：解：∵a²+b²是一个完全平方数，
令a²+b²=c²，
得a²=c²-b²=（c-b）（c+b），
因为a为质数，a，b为正整数，所以a=2或a为奇质数，且c+b＞c-b，
若a=2，此时4=（c-b）（c+b），因b、c为正整数，c-b＜c+b，
所以，

c-b=1 c+b=4

，从而

b= 3 2 c= 5 2

与b、c为正整数矛盾，
若a为奇质数，因b、c为正整数，c-b＜c+b，
所以只有

c+b=a2 c-b=1

从而b=

a2-1

2

．
故答案为：

a2-1

2

．

点评：此题考查了完全平方数和质数与合数的定义，将原式变形，逐步进行逻辑推理，一步步接近问题的核心是解题的关键．