Question

科学研究表明，合理安排各学科的课外学习时间，可以有效的提高学习的效率．教育专家们通过对九年级学生的课外学习时间与学习收益情况进行进一步的研究发现，九年级学生每天课外用于非数学学科的学习时间t（小时）与学习收益量y₁的函数关系是图①中的一条折线；每天用于数学学科的学习时间t（小时）与学习收益量y₂的函数关系如图②所示：图象中OA是顶点为A的抛物线的一部分，AB是射线．

（1）求出y₁与时间t（小时）之间的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；
（2）求出y₂与时间t（小时）之间的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；
（3）如果九年级学生每天课外学习的时间为2小时，学习的总收益量为W（W=y₁+y₂），请问应如何安排学习时间才能使学习的总收益量最大？

Answer 1

分析：（1）由图以及t的取值范围，设直线解析式为y=kx以及y=ax+b利用图象上点的坐标，即可求出y与x的函数关系式；
（2）利用分段函数的知识，需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法求抛物线解析式和直线解析式解出即可；
（3）根据W=y₁+y₂，分别根据二次函数最值求法以及t的取值范围求出即可．

解答：解：（1）当0≤t≤1.5时，设y₁=at，则45=1.5a，
解得：a=30，
∴y₁=30t，
当1.5≤t时，设y₁=bt+c，则

1.5b+c=45 2b+c=55

，
解得：

b=20 c=15

∴y₁=20t+15，
故y₁=

30t(0≤t≤1.5) 20t+15(t≥1.5)

；

（2）当0≤t≤1时，由图象可得出，抛物线顶点坐标为（1，90），且过点（0，0），
设y₂=a（t-1）²+90，
将（0，0）代入得出：a=-90，
∴y₂=-90（t-1）²+90=-90t²+180t，
当1≤t时，设y₂=kt+d，则

k+d=90 2k+d=100

，
解得：

k=10 d=80

，
∴y₂=10t+80，
故y₂=

-90t2+180t(0≤t≤1) 10t+80(t≥1)

；

（3）设用于数学学习的时间为t，根据题意得：
①当0≤t≤0.5时：w=20（2-t）+15-90t²+180t=-90（t-

8

9

）²+126

1

9

，当t=0.5时，w_最大=112.5，
②当0.5≤t≤1时：w=30（2-t）+-90t²+180t=-90（t-

5

6

）²+122.5，当t=

5

6

时，w_最大=122.5，
③当1≤t≤2时：w=30（2-t）+10t+80=-20t+140，当t=1时，w_最大=120．
综上所得，应安排

5

6

小时用于数学学习，

7

6

小时用于非数学学科的学习，才能使学习的总收益量最大．

点评：此题主要考查了函数定义、性质以及在实际问题中的应用等，利用自变量的取值范围进行分段讨论得出是解题关键．