Question

【题目】如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点．

（1）求抛物线的函数关系式．

（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标；

（3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先根据是等腰直角三角形，和点P的坐标求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求得；

（2）设点，如图（见解析），过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q，易证明，可得，则点C坐标为，将其代入题（1）中的抛物线函数关系式即可得；

（3）如图，延长NM交CH于点E，则，先通过点B、C求出直线BC的函数关系式，因点N在抛物线上，则设，则可得点M的坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，利用二次函数的性质求最值即可.

（1）是等腰直角三角形，，点P坐标为

则点A的坐标为

将点O、A、B三点坐标代入抛物线的函数关系式得：

，解得：

故抛物线的函数关系式为：；

（2）设点，过点C作CH垂直y轴于点H，过点A作AQ垂直y轴于点Q，

又

故点C的坐标为

将点C的坐标代入题（1）的抛物线函数关系式得：

，解得：

故点B的坐标为；

（3）如图，延长NM交CH于点E，则

设直线BC的解析式为：，将点，点代入得：

解得：

则直线BC的解析式为：

因点N在抛物线上，设，则点M的坐标为

的面积

即

整理得：

又因点M是线段BC上一点，则

由二次函数的性质得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小

故当时，取得最大值.