Question

15．已知：实数a满足a²+3a+1=0，求下列各式的值．
（1）a+$\frac{1}{a}$
（2）a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$
（3）（a-$\frac{1}{a}$）
（4）a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）把a²+3a+1=0两边除以a即可得到a+$\frac{1}{a}$的值；
（2）利用完全平方公式变形得到a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）²-2，然后利用整体代入的方法计算；
（3）根据平方根的定义得到a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$，再利用完全平方公式展开，然后利用整体代入的方法计算；
（4）先利用平方差公式得到a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）（a-$\frac{1}{a}$），然后利用整体的方法计算．

解答 解：（1）∵a²+3a+1=0，
∴a+3+$\frac{1}{a}$=0，
∴a+$\frac{1}{a}$=-3；
（2）a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）²-2=（-3）²-2=7；
（3）a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$=±$\sqrt{{a}^{2}-2+\frac{1}{{a}^{2}}}$=±$\sqrt{7-2}$=±$\sqrt{5}$；
（4）a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）（a-$\frac{1}{a}$）=-3×（±$\sqrt{5}$）=±3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形能力．