Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一动点（不与点A、B重合），D是半圆ADB中点，C、D在直径AB的两侧．
（1）过点C作⊙P的切线交DB的延长线于E，当∠BAC=30°时，求证：BC=CE．
（2）若在⊙0内存在点P，使得AP=AD，CB=CP．
①证明：AC²+CP²=2AP²
②当△ACP是直角三角形时，求∠AOC的度数．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先由弦切角定理得出∠BCE=30°，再证明△ADB是等腰直角三角形，得出∠BAD=45°，则∠CAD=75°．由圆内接四边形的性质，求出∠CBE=∠CAD=75°，则在△BCE中根据三角形内角和定理得出∠E=75°，根据等角对等边证明出BC=CE；
（2）①先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据勾股定理得AC²+BC²=AB²，由CB=CP，得出AC²+CP²=AB²．又△ADB是等腰直角三角形，则AB²=2AD²，再由AP=AD，得到AB²=2AP²，进而证明出AC²+CP²=2AP²；
②先由AC²+CP²=2AP²，根据勾股定理可知AP不可能为斜边，则分两种情况进行讨论：（Ⅰ）AC为斜边；（Ⅱ）CP为斜边．

解答：（1）证明：∵CE是⊙P的切线，∠BAC=30°，
∴∠BCE=∠BAC=30°．
∵AB是⊙O的直径，D是半圆ADB中点，
∴△ADB是等腰直角三角形，∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=30°+45°=75°．
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE=∠CAD=75°，
∴∠E=180°-∠BCE-∠CBE=180°-30°-75°=75°，
∴∠E=∠CBE=75°，
∴BC=CE；

（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∵CB=CP，∴AC²+CP²=AB²．
∵△ADB是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∵AP=AD，∴AB²=2AP²，
∴AC²+CP²=2AP²；

②解：∵AC²+CP²=2AP²，
∴当△ACP是直角三角形时，AP不可能为斜边，所以分两种情况：
（Ⅰ）当AC为斜边时，则AP²+CP²=AC²，
又∵AC²+CP²=2AP²，∴AP²+CP²+CP²=2AP²，∴AP²=2CP²，
∵AB²=2AP²，∴AB²=4CP²=4BC²，∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°；
（Ⅱ）当CP为斜边时，则AP²+AC²=CP²，
又∵AC²+CP²=2AP²，∴AP²+AC²=2AP²-AC²，∴AP²=2AC²，
∵AB²=2AP²，∴AB²=4AC²，∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°，∴∠AOC=60°．
综上可知，∠AOC为120°或60°．

点评：本题是圆的综合题，其中涉及到弦切角定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解决最后一问的关键．