【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是( )
①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.
A.①②
B.②③④
C.①②④
D.①②③④
【答案】C
【解析】解:①∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
∵在ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
∴∠DCF=∠BCD,故此选项正确;
②延长EF,交CD延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDF,
∵F为AD中点,
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中,
,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90°,
∵FM=EF,
∴FC=FM,故②正确;
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM ,
∵MC>BE,
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误;
④设∠FEC=x,则∠FCE=x,
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x,
∴∠EFC=180°﹣2x,
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,
∵∠AEF=90°﹣x,
∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确.
故选C.
【考点精析】掌握平行四边形的性质是解答本题的根本,需要知道平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分.
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【题目】如图,将一张等边三角形纸片沿各边中点剪成4个小三角形,称为第一次操作;然后将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到7个小三角形,称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到10个小三角形,称为第三次操作;……,根据以上操作,若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是( )
A. 25 B. 33 C. 34 D. 50
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【题目】已知:如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,AC=6cm,BC=8cm.
(1)求⊙O的半径;
(2)请用尺规作图作出点P,使得点P在优弧CAB上时,△PBC的面积最大,请保留作图痕迹,并求出△PBC面积的最大值.
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【题目】小明同学用长分别为5,7,9,13(单位:厘米)的四根木棒摆三角形,用其中的三根
首尾顺次相接,每摆好一个后,拆开再摆,这样可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点,增加下列条件,不能得出BE∥DF的是( )
A.AE=CF
B.BE=DF
C.∠EBF=∠FDE
D.∠BED=∠BFD
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【题目】已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3:4,则△ABC与△DEF的面积之比为( )
A.4:3
B.3:4
C.16:9
D.9:16
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【题目】下列命题中,真命题的个数是( )
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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