Question

【题目】如图，在中，，为的中点，过点作垂直于点，交的延长线于点．为中点，交于，为边上一点，连接，且．

(1)若，求的长度；

(2)求证：．

Answer 1

【答案】（1）HG=2；（2）证明见解析．

【解析】

（1）利用ASA证明△AFC≌△CBG，从而可得CG=AF=3，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CH=5，再根据HG=CH-CG即可得答案；

（2）由等腰三角形的性质可得CH⊥AB，继而证得CH∥AD，得到BG=DG，再根据AE=CE证明△ADE与△CGE全等，从而得到DE=FG，进而则可得到结论．

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

又∵H为AB的中点，AB=10，

∴∠BCG=∠ACB=45°，CH=AB==5，

∴∠BCG=∠CAF，

又∵AC=CB，∠ACF=∠CBG，

∴△ACF≌△CBG（ASA），

∴CG=AF=3，

∴HG=CH-CG=5-3=2；

（2）∵AC=BC，H为AB的中点，

∴CH⊥AB，

又∵AD⊥AB，

∴AD//CH，

∴GH是△BAD的的中位线，

∴BG=DG，

∵AD//CH，

∴∠DAE=∠GCE，∠D=∠∠CGE，

又∵AE=CE，

∴△ADE≌△CGE（AAS），

∴DE=GE，

∴DG=DE+EG=2EG，

∵△ACF≌△CBG，

∴CF=BG，

∴CF=2EG．