Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5）．点C是y轴负半轴上一点，直线l经过B，C两点，且tan∠OCB=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线l的解析式；
（3）过O，B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q．问：是否存在点P，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△OBC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意设抛物线解析式为y=ax（x-4），把B（5，5）代入求得解析式．
（2）过点B作BD⊥y轴于点D，求出点C的坐标．设直线l的解析式为y=kx-4，把点B的坐标代入求出k值之后可求出直线l的解析式．
（3）首先证明△PBQ∽△OBC根据线段比求出P₂，然后可知抛物线y=x²-4x与直线l的交点就是满足题意的点Q，令x²-4x=x-4求出P₁的坐标．然后分情况讨论点P的坐标的位置．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点（0，0），（4，0），
可设抛物线解析式为y=ax（x-4），
把B（5，5）代入，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-4x．（4分）

（2）过点B作BD⊥y轴于点D．
∵点B的坐标为（5，5），
∴BD=5，OD=5．
∵tan∠OCB==，
∴CD=9，
∴OC=CD-OD=4．
∴点C坐标为（0，-4）．（2分）
设直线l的解析式为y=kx-4，
把B（5，5）代入，得5=5k-4，
解得k=．
∴直线l的解析式为y=x-4．（2分）

（3）当点P在线段OB上（即0＜x＜5时），
∵PQ∥y轴，
∴∠BPQ=∠BOC=135度．
当=时，△PBQ∽△OBC．
这时，抛物线y=x²-4x与直线l的交点就是满足题意的点Q，
那么x²-4x=x-4，
解得x₁=5（舍去），x₂=，
∴P₁（，）；（2分）
又当=时，△PQB∽△OBC．
∵PB=（5-x），PQ=x-（x²-4x）=5x-x²，OC=4，OB=5，
∴，
整理得2x²-15x+25=0，
解得x₁=5（舍去），x₂=，
∴P₂（，）．（2分）
当点P在点O左侧（即x＜0=时），
∵PQ∥y轴，
∴∠BPQ=45°，△BPQ中不可能出现135°的角，这时以P，Q，B为顶点的三角形不可能与△OBC相似．
当点P在点B右侧（即x＞5）时，
∵∠BPQ=135°，
∴符合条件的点Q即在抛物线上，同时又在直线l上；
或者即在抛物线上，同时又在Q₂，B所在直线上（Q₂为上面求得的P₂所对应）．
∵直线l（或直线Q₂B）与抛物线的交点均在0＜x≤5内，而直线与抛物线交点不可能多于两个，
∴x＞5时，以P，Q，B为顶点的三角形也不可能与△OBC相似．
综上所述，符合条件的点P的坐标只有两个：P₁（，），P₂（，）．（2分）
点评：本题考查的是二次函数的有关知识，特别要注意的是考生需全面分析讨论从而求解．