Question

17．如图所示，点D，E是等边△ABC的BC，AC上的点，且CD=AE，AD，BE相交于P点，BQ⊥AD．已知PE=1，PQ=3，求AD的长度．

Answer 1

分析 根据SAS即可证得△ABE≌△ADC，得出∠CAD=∠ABE，BE=AD，从而求得∠BPD=∠APE=∠BAC=60°进而得出∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，根据30°的直角三角形的性质即可求得BP的长，最后计BE的长即可得出结论．

解答 解：（1）∵等边△ABC，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AE}\\{∠ACD=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠CAD=∠ABE，BE=AD，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠BAC=60°，
即∠BPD的度数为60°，
∵BQ⊥AD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PB=2PQ=6，
∵PE=1，
∴PE=6+1=7，
∴AD=7．

点评 本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的判定等，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形对应角相等，求证∠APE=∠BAC是解题的关键．