Question

设x₁，x₂，…，x₂₀₀₈是整数，且满足下列条件：
（1）-1≤x_n≤2（n=1，2，…，2 008）；
（2）x₁+x₂+…+x₂₀₀₈=200；
（3）x₁²+x₂²+…+x₂₀₀₈²=2 008．
求x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：根据设x₁，x₂，…，x₂₀₀₈中有q个0，r个-1，s个1，t个2，可得出等式即可求出x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最大值2408．
解答：解：设x₁，x₂，…，x₂₀₀₈中有q个0，r个-1，s个1，t个2．（2分）
则①（5分）
两式相加得s+3t=1104．故0≤t≤368．（10分）
由x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³=-r+s+8t=6t+200，（12分）
得200≤x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³≤6×368+200=2408．（15分）
由方程组①知：当t=0，s=1104，r=904时，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最小值200；   （17分）
当t=368，s=0，r=536时，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最大值2408．（20分）
点评：此题主要考查了函数最值问题，根据已知求出200≤x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³≤6×368+200=2408，即得出当t=368，s=0，r=536时最小值是解题关键．