Question

14．已知函数y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂图象如图所示，直线y₁与直线y₂交于A点（0，3）．与x轴的交点坐标为B（1，0）、C（3，0）．
（1）求函数y₁和y₂的函数关系式；
（2）求△ABC的面积；
（3）求△AOB中AB边上的高；
（4）若点D在x轴上，且满足△ACD是等腰三角形，直接写出D点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法把点的坐标代入函数解析式即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）设△AOB中AB边上的高为h．根据三角形的面积公式h=$\frac{OA•OB}{AB}$，代入计算即可；
（4）根据勾股定理得到AC=3$\sqrt{2}$，当△ACD是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①AD=AC；②AC=CD；③AD=CD．

解答 解：（1）把A（0，3），B（1，0）代入y₁=k₁x+b₁得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3}\\{{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-3}\\{{b}_{1}=3}\end{array}\right.$．
故y₁的函数关系式为：y₁=-3x+3；
把A（0，3），C（3，0）代y₂=k₂x+b₂得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=3}\\{3{k}_{2}+{b}_{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{{b}_{2}=3}\end{array}\right.$．
故函数y₂的函数关系式y₂=-x+3；

（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}$×2×3=3；

（3）设△AOB中AB边上的高为h．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴h=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{3×1}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；

（4）∵OA=OC=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$．
①当AD=AC=3$\sqrt{3}$时，OD=OC=3，∴D₁（-3，0）；
②当AC=CD=3$\sqrt{2}$时，OD=CD-OC=3$\sqrt{2}$-3或OD=OC+CD=3+3$\sqrt{2}$，∴D₂（3-3$\sqrt{2}$，0）或D₄（3+3$\sqrt{2}$，0）；
③当AD=CD=3时，D在AC的垂直平分线上，∴D与O重合，∴D₃（0，0）；
综上所述：点D在x轴上，且满足三角形ACD是等腰三角形，D点坐标：（-3，0），（3-3$\sqrt{2}$，0），（0，0），（3+3$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，认真审题，弄清题意是解题的关键．