Question

为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用），该公司可安排员工多少人？
（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

Answer 1

分析：（1）从图中看，这是一个分段一次函数，40≤x≤60和60＜x＜100时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本-员工工资-其它费用，列出方程即可解；
（3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解．

解答：解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，
则

40k+b=4 60k+b=2

，
解得

k=- 1 10 b=8

，
故y=-

1

10

x+8，
同理，当60＜x≤80时，y=-

1

20

x+5．
故y=

- 1 10 x+8(40≤x≤60) - 1 20 x+5(60＜x＜100)

；

（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，
由5=（-

1

10

×50+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，
解得a=40，
所以公司可安排员工40人；

（3）当40≤x≤60时，
利润w₁=（-

1

10

x+8）（x-40）-15-20=-

1

10

（x-60）²+5，
则当x=60时，w_max=5万元；
当60＜x＜100时，
w₂=（-

1

20

x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

20

（x-70）²+10，
∴x=70时，w_max=10万元，
∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，
设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，
∴n≥8，即n=8为所求．

点评：本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．