Question

8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0）和点B（4，0），点C在y轴正半轴上，且∠ACB=90°，将△COB绕点C旋转180°得到△CDE，连结AE．
（1）求证：CE平分∠AED；
（2）若抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c过点E和点C，求此抛物线解析式；
（3）点P是（2）中抛物线上一点，且以A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意得：BC=EC，∠ABC=∠DEC，又由AC⊥BE，根据线段垂直平分线的性质，可证得AB=AE，继而证得：CE平分∠AED；
（2）由∠ACB=90°，CO⊥AB，易证得：△AOC∽△COB，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，即可求得点C的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；
（3）若以AC、CE为邻边，则点E可以看成点C向左平移4个单位，再向上平移2个单位，将点A向左平移4个单位，再向上平移2个单位得点P（-5，2），又可得点P在抛物线上；同理可得若以EC、EA为邻边，同理可得点P（3，-2），经验证此点不在抛物线上，故舍去；若以AC、AE为邻边，同理可得点P（-3，6），经验证此点不在抛物线上，故舍去．

解答 解：（1）由题意得：BC=EC，∠ABC=∠DEC．     
∵AC⊥BE，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC，
∴∠AEB=∠DEC，
即CE平分∠AED；

（2）∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
∴OC²=OA•OB=4，
∴OC=2．
∴点C坐标为（0，2），点E坐标为（-4，4）．
由$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-\frac{1}{2}×16-4b+c=4}\end{array}\right.$，
得$b=-\frac{5}{2}$，c=2，
∴所求抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{2}x+2$． 

（3）若以AC、CE为邻边，则点E可以看成点C向左平移4个单位，再向上平移2个单位，将点A向左平移4个单位，再向上平移2个单位得点P（-5，2）．
当x=-5时，$y=-\frac{1}{2}×25-\frac{5}{2}×（{-5}）+2=2$，
∴点P在抛物线上．
∴点P（-5，2）即为所求；
若以EC、EA为邻边，同理可得点P（3，-2），经验证此点不在抛物线上，故舍去；
若以AC、AE为邻边，同理可得点P（-3，6），经验证此点不在抛物线上，故舍去；
∴点P的坐标为（-5，2）．

点评 此题属于二次函数综合题，此题考查了待定系数法求函数的解析式、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意旋转中的对应关系以及平行四边形中的平移性质．