Question

已知：如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，

AB

=

AF

，BF和AD交于E，过A的切线交CB的延长线于G．
求证：（1）AE=BE；（2）AB²=BG•CF．

Answer 1

分析：（1）可证∠BAE=∠ABE．连接AC，则∠ABE=∠ACF=∠ACB，所以证∠BAD=∠ACB即可．有这两角都与∠ABD互余得证；
（2）即证AB：CF=BG：AB，因AB=AF，所以证AB：CF=BG：AF．证它们所在的△ABG、△AFC相似即可．

解答：证明：（1）连接AC．                      （1分）
∵

AB

=

AF

，
∴∠ACB=∠ABF．                          （2分）
又∵∠ACB=90°-∠ABD=∠BAD，（3分）
∴∠BAE=∠ABE．
∴AE=BE．                               （4分）

（2）∵

AB

=

AF

，
∴∠GAB=∠ACF，（5分）
又∵∠ABG=∠CFA，（6分）
∴△ABG∽△CFA．
∴AB：BG=CF：AF．                         （8分）
又∵

AB

=

AF

，∴AB=AF．
∴

AB

BG

=

CF

AB

∴AB²=BG•CF．                             （9分）

点评：此题考查了圆的有关性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．证等积式常常先转换成比例式，确定它们所在的三角形并证明三角形相似．