Question

3．如图，已知抛物线y=-（x-m）²+4m²（m＞0）交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）．[图（2）为解答备用图]
（1）m=1，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）；
（2）设抛物线y=-（x-m）²+4m²（m＞0）的对称轴上有一动点P，若△APC周长最小，求此时点P的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点C（0，3）代入抛物线y=-（x-m）²+4m²（m＞0）即可得到m=1；解方程即可得到A（-1，0），B（3，0）；
（2）连接BC交对称轴于P，此时△APC周长最小，待定系数法得到直线BC解析式为y=-1x+3，即可得到P（1，2）；
（3）如图2，过点D作DE⊥AB于E，则S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△BDE，设点D（m，-m²+2m+3），E（m，-m+3），代入即可得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=-（x-m）²+4m²（m＞0）与y轴交于点C（0，3），
∴3=-m²+4m²，
解得：m=±1，
∵m＞0，
∴m=1；
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4，
当y=0时，即0=-（x-1）²+4，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故答案为：1，（-1，0），（3，0）；
（2）如图1，∵A与B关于对称轴对称，
∴连接BC交对称轴于P，
则PA+PC最小，即△APC周长最小，
∵B（3，0），C（0，3），
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-1x+3，
∵P横坐标为1，将x=1代入得y=2，
∴P（1，2）；
（3）如图2，过点D作DE⊥AB于E，则S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△BDE，
设点D（m，-m²+2m+3），E（m，-m+3），
则DE=-m²+2m+3+m-3=m²+3m，
∴$\frac{1}{2}×$1×3+$\frac{1}{2}$（3+m²+2m+3）×m+$\frac{1}{2}$（3-m）×（-m²+2m+3）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S_{四边形ABDC}有最大值是$\frac{75}{8}$．
∴点D（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），最大面积为$\frac{75}{8}$．

点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数的最值，函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．