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6.如图,等边三角形ABC的边长为1,P是AB边上的一个动点(P与A,B不重合),将其折叠点C与点P重合,折痕为EF.
(1)求证:△APE∽△BFP;
(2)设AP=x,$\frac{CE}{CF}$=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.

分析 (1)由∠APE+∠BPF=120°,∠BPF+∠BFP=120°,推出∠APE=∠BFP,即可解决问题.
(2))由△APE∽△BFP,推出$\frac{AP}{BF}$=$\frac{AE}{BP}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{EC}{CF}$=y,推出AE=y(1-x),BF=$\frac{x}{y}$,推出EC=1-y(1-x),CF=1-$\frac{x}{y}$,再由$\frac{EC}{CF}$=y,列出式子即可解决问题.

解答 (1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°,
∵点C与点P重合,折痕为EF,
∴∠EPF=∠ECF=60°,
∴∠APE+∠BPF=120°,
∵∠BPF+∠BFP=120°,
∴∠APE=∠BFP,
∴△APE∽△BFP.

(2)解:∵△APE∽△BFP,
∴$\frac{AP}{BF}$=$\frac{AE}{BP}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{EC}{CF}$=y,
∴AE=y(1-x),BF=$\frac{x}{y}$,
∴EC=1-y(1-x),CF=1-$\frac{x}{y}$,
∵$\frac{EC}{CF}$=y,
∴y=$\frac{1-y(1-x)}{1-\frac{x}{y}}$,
整理得y=$\frac{1+x}{2-x}$,(0<x<1).

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、翻折变换等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

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