Question

某市电视台在黄金时段的4分钟广告时间内，计划插播长度分为30秒和60秒的两种广告，30秒广告每播1次收费1.5万元，60秒广告每播1次收费2.6万元，若要求每种广告播放又不少于1次，设30秒广告播放x次，60秒广告播放y次．
①试求y与x之间的函数关系式．
②两种广告的播放次数有哪几种安排方式．
③电视台选择哪种方式播放收益最大？最大收益为多少？

Answer 1

分析：（1）插播长度为30秒的广告总时间+插播长度为60秒的广告总时间=240秒，依据等量可求出函数关系式；
（2）根据（1）的函数关系式，分类讨论解答，注意x、y为正整数；
（3）根据（1）的函数关系式为反比例函数，所以，当x值最小时，y值最大，即为最大收益；将x值代入求出即可．

解答：解：（1）由题意得，30x+60y=240，
整理得，y与x之间的函数关系式是：y=-

1

2

x+4．
（2）由题意知，x、y都为正整数，
所以，①当x=1时，y=-

1

2

+4=3

1

2

，不符合题意，舍去；
②当x=2时，y=-

1

2

×2+4=3；
③当x=3时，y=-

1

2

×3+4=2

1

2

，不符合题意，舍去；
④当x=4时，y=-

1

2

×4+4=2；
⑤当x=5时，y=-

1

2

×5+4=1

1

2

，不符合题意，舍去；
⑥当x=6时，y=-

1

2

×6+4=1；
所以，两种广告的播放次数有3种安排方式：
①长度30秒的广告插播2次，60秒的插播3次；
②长度30秒的广告插播4次，60秒的插播2次；
③长度30秒的广告插播6次，60秒的插播1次．
（3）由（2）题得，
3种方式的收益依次为：
①1.5×2+2.6×3=10.8万元，
②1.5×4+2.6×2=11.2万元，
③1.5×6+2.6×1=11.6万元；
答：长度30秒的广告插播6次，60秒的插播1次时，收益最大；
最大收益为11.6万元．

点评：本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，解答时，要注意自变量的取值范围，必须使实际问题有意义．体现了分类讨论思想．