Question

11．四点A、C、B、D顺次在一直线上，设AB=a，AC=b，AD=c，并且$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{a}$，求证：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$．

Answer 1

分析 首先将$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{a}$变形为$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{c}$，可得$\frac{a-b}{b}$=$\frac{c-a}{c}$，即$\frac{b}{b-a}$=$\frac{c}{c-a}$，依此即可求解．

解答 证明：∵$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{a}$，
∴$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{c}$，
$\frac{a-b}{ab}$=$\frac{c-a}{ac}$，
$\frac{a-b}{b}$=$\frac{c-a}{c}$，
∴$\frac{b}{b-a}$=$\frac{c}{c-a}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{b}{b-a}$，
$\frac{AD}{BD}$=$\frac{c}{c-a}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$．

点评 此题考查了比例线段，关键是将$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{a}$变形得到$\frac{b}{b-a}$=$\frac{c}{c-a}$．