Question

11、如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．
（1）求EC：CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由同角的余角相等得到∠1=∠2，故有Rt△ABE∽Rt△ECF?AB：CE=BE：CF?EC：CF=AB：BE=5：2；
（2）在AB上取BH=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP，从而得到AE=EP；
（3）先证△DAM≌△ABE，继而可得四边形DMEP是平行四边形．

解答：解：（1）如图（一）
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE=BE：CF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2

（2）如图（二）在AB上取BM=BE，连接EM，
∵ABCD为正方形，
∴AB=BC，
∵BE=BM，
∴AM=EC，
∵∠1=∠2，∠AME=∠ECP=135°，
∴△AME≌△ECP，
∴AE=EP．；
（3）存在．顺次连接DMEP．
如图（二）
在AB取点M，使AM=BE，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∵∠DAM=∠ABE=90°，DA=AB，
∴△DAM≌△ABE，
∴DM=AE，
∵AE=EP，
∴DM=PE，
∵∠1=∠5，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴DM⊥AE，
∴DM∥PE
∴四边形DMEP是平行四边形．

点评：本题中，要熟练掌握正方形的性质及三角形相似的判定和性质的综合运用．
（1）中求线段的比，一般会与相似三角形挂勾；
（2）中增加了角平分线的相关性质，通过目测可猜想两条线段相等，从而通过构造全等三角形的判定求解或是利用角平分线的性质定理求解；
（3）中则考查了平行四边形的识别．
命题规律与趋势：本题起点不难，采用低起点、宽入口、坡度缓、步步高、窄出口”的分层考查的特点，考查学生的综合运用知识解决总理的能力．以正方形为依托，以点的变化形式综合考查了三角形相似、三角形全等、角平分线性质、平行四边形的识别等知识．图中正确解读信息、找到正确的思路是解决问题的关键．