Question

8．如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（t，$\frac{2}{3}$t）；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6），并求当t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：在上述运动过程中，是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC的$\frac{1}{3}$？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4-NP，NP的值可根据相似比求得；
（2）由（1）的结论易得△OMP的高为$\frac{2}{3}$t，而OM=6-AM=6-t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值；
（3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得S_△OCN=$\frac{1}{2}$×4×3=6，S_△ORT=$\frac{1}{3}$S_△OCN=2；然后分两种情况考虑：①当点T在点O、C之间时，②当点T在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标．

解答 解：（1）延长NP交OA于H，如图1所示：
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四边形CNHO是平行四边形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴点B的坐标为（6，4）；
由图可得，点P的横坐标=0H=CN=t，纵坐标=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：6，
∴NP=4-$\frac{2}{3}$t，
∴点P的纵坐标=4-NP=$\frac{2}{3}$t，
则点P的坐标为（t，$\frac{2}{3}$t）；
故答案为：（6，4）；（t，$\frac{2}{3}$t）；

（2）∵S_△OMP=$\frac{1}{2}$×OM×$\frac{2}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{2}{3}$t=-$\frac{1}{3}$t²+2t=-$\frac{1}{3}$（t-3）²+3（0＜t＜6）．
∴当t=3时，S有最大值．

（3）存在．理由如下：
由（2）得，当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：y=$\frac{4}{3}$x．
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y=-$\frac{b}{3}$x+b，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{b}{3}x+b}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3b}{4+b}}\\{y=\frac{4b}{4+b}}\end{array}\right.$，
∴直线ON与MT的交点R的坐标为（$\frac{3b}{4+b}$，$\frac{4b}{4+b}$），
∵S_△OCN=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S_△ORT=$\frac{1}{3}$ S_△OCN=2，
①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR₁T₁，
如图2所示，作R₁D₁⊥y轴，D₁为垂足，则S_△OR1T1=$\frac{1}{2}$RD₁•OT=$\frac{1}{2}$•$\frac{3b}{4+b}$•b=2．
∴3b²-4b-16=0，
解得：b=$\frac{2±2\sqrt{13}}{3}$（负值舍去）．
∴b=$\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$，
此时点T₁的坐标为（0，$\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$）．
②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R₂NE，如图，设MT交CN于点E，
由①得点E的横坐标为$\frac{3b-12}{b}$，作R₂D₂⊥CN交CN于点D₂，则
S_△R2NE=$\frac{1}{2}$•EN•R₂D₂=$\frac{1}{2}$•（3-$\frac{3b-12}{b}$）•（4-$\frac{4b}{4+b}$=$\frac{96}{b（4+b）}$=2．
∴b²+4b-48=0，
解得：b=±2$\sqrt{13}$-2（负值舍去）．
∴b=2$\sqrt{13}$-2．
∴此时点T₂的坐标为（0，2$\sqrt{13}$）．
综上所述，在y轴上存在点T₁（0，$\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$），T₂（0，2$\sqrt{13}$-2）符合条件．

点评 此题是四边形综合题目，综合性较强，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点；本题综合性强，难度较大．