Question

10．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向点A匀速运动；同时点D从点O出发，以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，到达终点后运动立即停止．连接CD，取CD的中点E，过点E作EF⊥CD，与折线DO-OA-AC交于点F，设运动时间为t秒．
（1）点C的坐标为（3t，4-4t）（用含t的代数式表示）；
（2）求证：点E到x轴的距离为定值；
（3）连接DF、CF，当△CDF是以CD为斜边的等腰直角三角形时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）过点C作CM⊥x轴于点M，根据直线AB的解析式结合一次函数图象上点的坐标特征即可得出点A、B的坐标，由勾股定理即可得出AB的长度，再根据平行线的性质即可得出$\frac{AC}{AM}=\frac{AB}{AO}$，根据比例的性质可得出$\frac{AB-AC}{AO-AM}=\frac{BC}{OM}=\frac{AB}{AO}$，代入数据即可得出OM，由此即可得出点C的坐标；
（2）找出点D的坐标，根据点E为线段CD的中点，即可得出点E的坐标，由此可得出点E的纵坐标时固定值，此题得证；
（3）根据点F所在的位置不同考虑．①当点F在线段AC上时，利用相似三角形的判定与性质结合线段间的关系，即可得出关于t的一元一次方程，解方程求出t值，进而可得出CD的长度；②当点F在线段OA上时，结合图象可知不存在；③当点F在线段OD上时，根据点C、D的坐标结合等腰直角三角形的性质即可得出关于t的一元一次方程，解方程求出t值，进而可得出CD的长度．

解答 解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，如图1所示．
当x=0时，y=4，
∴B（0，4），OB=4；
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），OA=3．
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
∵CM⊥x轴，BO⊥x轴，
∴$\frac{AC}{AM}=\frac{AB}{AO}$，
∴$\frac{AB-AC}{AO-AM}=\frac{BC}{OM}=\frac{AB}{AO}$，
∵BC=5t，AB=5，OA=3，
∴OM=$\frac{3}{5}$BC=3t．
当x=3t时，y=4-4t，
∴C（3t，4-4t）．
故答案为：（3t，4-4t）．
（2）证明：∵点D从点O出发，以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，
∴OD=4t，
∴D（0，4t）．
∵点E为线段CD的中点，
∴E（$\frac{3t+0}{2}$，$\frac{4-4t+4t}{2}$），既（$\frac{3}{2}t$，2），
∴点E到x轴的距离为定值．
（3）按点F的位置不同来考虑．
①当点F在AC上时，如图2所示．
∵DF⊥AB，∠AOB=90°，
∴△BDF∽△BAO，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{OA}=\frac{BF}{OB}$，
∴DF=CF=$\frac{12}{5}$（1-t），BF=$\frac{16}{5}$（1-t）．
∵BF=BC+CF，
∴$\frac{16}{5}$（1-t）=5t+$\frac{12}{5}$（1-t），
∴t=$\frac{4}{29}$．
此时DF=$\frac{12}{5}$×（1-$\frac{4}{29}$）=$\frac{60}{29}$，CD=$\sqrt{2}$DF=$\frac{60}{29}$$\sqrt{2}$；
②当点F在OA上时，如图3所示，显然不存在；
③当点F在OD上时，如图4所示．
∵C（3t，4-4t），D（0，4t），∠CFD=90°，
∴F（0，4-4t），
∴DF=4t-（4-4t）=8t-4，CF=3t．
∵△CDF为等腰直角三角形，
∴DF=CF，即8t-4=3t，
解得：t=$\frac{4}{5}$．
此时CF=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$，CD=$\sqrt{2}$CF=$\frac{12}{5}$$\sqrt{2}$．
综上可知：当△CDF是以CD为斜边的等腰直角三角形时，CD的长为$\frac{60}{29}$$\sqrt{2}$或$\frac{12}{5}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出线段间的关系；（2）根据点C、D的坐标找出点E的坐标；（3）分点F分别在AC、OA、OD上三种情况考虑．本题属于中档题，难道不大，解决该题型题目时，依据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．