Question

在直角坐标平面内，O为原点，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和点B（0，3），顶点为P．
（1）求二次函数的解析式及点P的坐标；
（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、B两点坐标代入y=-x²+bx+c，解得b、c的值，再把解析式化为顶点坐标式，求出P点坐标；
（2）设点Q（x，0），由于根据图形，A不可能为直角顶点，则分别讨论P、Q为直角顶点时的情况．

解答：解：（1）由题意，得

-1-b+c=0 c=3

，（2分）
解得：b=2，c=3，（1分）
∴二次函数的解析式是y=-x²+2x+3，（1分）
变形为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点P的坐标是（1，4）；（2分）

（2）P（1，4），A（-1，0），
∴AP²=20．（1分）
设点Q的坐标是（x，0），
则AQ²=（x+1）²，PQ²=（x-1）²+16，（1分）
当∠AQP=90°时，AQ²+PQ²=AP²，（x+1）²+（x-1）²+16=20，
解得x₁=1，x₂=-1（不合题意，舍去）
∴点Q的坐标是（1，0）．（2分）
当∠APQ=90°时，AP²+PQ²=AQ²，20+（x+1）²+16=（x+1）²，
解得x=9，
∴点Q的坐标是（9，0）．（2分）
当∠PAQ=90°时，不合题意．
综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．

点评：本题考查了对二次函数解析式求解的掌握及函数与图形相结合的综合问题．