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    已知抛物线y=x2-x-2．
    （1）求抛物线顶点M的坐标；
    （2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
    （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将已知的抛物线解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标．
    （2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN=t，即N点纵坐标为-t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出△OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式．
    （3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：
    ①∠PAC=90°，设出点P的坐标，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；
    ②∠PCA=90°，解法同①．
    解答：精英家教网解：（1）∵抛物线y=x2-x-2=（x-
    1
    2
    ）2-
    9
    4
    ，
    ∴顶点M的坐标为(
    1
    2
    ，-
    9
    4
    )    ．（1分）

    （2）抛物线与y=x2-x-2与x轴的两交点为A（-1，0），B（2，0），
    设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
    ∴
    2k+b=0
    1
    2
    k+b=-
    9
    4
    ，
    解得
    k=
    3
    2
    b=-3
    ；
    ∴线段BM所在直线的解析式为y=
    3
    2
    x-3    ，（2分）
    设点N的坐标为（x，-t）．
    ∵点N在线段BM上，
    ∴-t=
    3
    2
    x-3    ．
    ∴x=-
    2
    3
    t+2    ．
    ∴S四边形NQAC=S△AOC+S梯形OQNC
    =
    1
    2
    ×1×2+
    1
    2
    (2+t)(-
    2
    3
    t+2)=-
    1
    3
    t2+
    1
    3
    t+3    ．（3分）
    ∴S与t之间的函数关系式为S=-
    1
    3
    t2+
    1
    3
    t+3    ，自变量t的取值范围为0＜t＜
    9
    4
    ．（4分）

    （3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m＞
    1
    2
    且n=m2-m-2；
    PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
    分以下几种情况讨论：
    ①若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2．
    ∴
    n=m2-m-2
    m2+(n+2)2=(m+1)2+n2+5
    ，
    解得m1=
    5
    2
    ，m2=-1；
    ∵m＞
    1
    2
    ，
    ∴m=
    5
    2
    ，
    ∴P1(
    5
    2
    ，
    7
    4
    )    ；（6分）
    ②若∠PCA=90°，则PA2=PC2+AC2
    ∴
    n=m2-m-2
    (m+1)2+n2=m2+(n+2)2+5
    ，
    解得m3=
    3
    2
    ，m4=0，
    ∵m＞
    1
    2
    ，
    ∴m=
    3
    2
    ，
    ∴P2(
    3
    2
    ，-
    5
    4
    )    ；
    当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，
    所以边AC的对角∠APC不可能是直角，
    ∴存在符合条件的点P，且坐标为P1(
    5
    2
    ，
    7
    4
    )    ，P2(
    3
    2
    ，-
    5
    4
    )    ．（8分）
    点评：此题是二次函数的综合题，考查了二次函数顶点坐标及函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知识，要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．
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