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20.已知四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与BC,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段BC的中点时,线段AE,EF,AF之间存在什么数量关系,并加以说明;
(2)如图2,当点E是线段BC上任意一点时(点E不与点B、C重合),(1)中线段AE,EF,AF之间的数量关系仍成立吗?请给予证明.

分析 (1)连接AC,利用菱形的性质可得AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,进而可得△ABC,△ADC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,再证明AF⊥CD,根据菱形的高相等可得AE=AF,进而可得AE=EF=AF;
(2)连接AC,证明△BAE≌△CAF可得AE=AF,再由∠EAF=60°,可得AE=EF=AF.

解答 解:(1)结论AE=EF=AF.
理由:如图1中,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,
∵∠EAF=60°,
∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,
∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.

(2)证明:(1)中线段AE,EF,AF之间的数量关系仍然成立,即AE=EF=AF,
如图2中,连接AC,
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{BA=CA}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$,
∴△BAE≌△CAF(SAS),
∴AE=AF,
∵∠EAF=60°,
∴AE=EF=AF.

点评 此题主要考查了菱形的性质,以及全等三角形的判定和性质,关键是掌握菱形四边形相等,掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

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∴∠1=∠3(等量代换)
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