Question

已知x₁，x₂是关于x的方程x²-kx+5（k-5）=0的两个正实数根，且满足2x₁+x₂=7，求实数k的值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系和根据方程有两个正根求出k的取值范围，再结合2x₁+x₂=7求出k的取值．

解答：解：因为关于x的方程x²-kx+5（k-5）=0的两个正实数根，
所以

k2-4×5(k-5)≥0 5(k-5)＞0 k＞0

，
解得：k的取值范围为k＞5．
方程x²-kx+5（k-5）=0可化为（x-5）（x-k+5）=0，
解得x=5或x=k-5．
①x₁=5或x₂=k-5时，代入2x₁+x₂=7得，2×5+k-5=7，则k=2；
②x₂=5或x₁=k-5时，代入2x₁+x₂=7得，2k-10+5=7，则k=6．
由于k＞5，所以k=6．

点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁x₂=

c

a

．