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将两个不同的质数接起来可以得到一个四位数,比如由17,19可得到一个四位数1719;由19,17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数.
【答案】分析:首先设这两个质数分别是x,y,则将它们接起来得到的一个四位数是100x+y,然后根据这个四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,可以设100x+y=m•(m为整数),即198x=(m-2)(x+y),得到x,y的范围,从而求得x,y的值,进而求解.
解答:解:设这两个质数分别是x,y,
由题意,可知100x+y=m•(m为整数),即200x+2y=m(x+y),
∴198x=(m-2)(x+y).
∵m为整数,
∴198x能被(x+y)整除,
∵(x,y)=1,
∴(x,x+y)=1.
∴198能被(x+y)整除,
而198=2×32×11,即198=2×99=3×66=6×33=9×22=11×18,
又∵11≤x≤99,11≤y≤99,x≠y,
∴24≤x+y≤196,
∴x+y=66=13+53=19+47=23+43=29+37.
∴符合条件的四位数有8个,
它们是1353,5313,1947,4719,2343,4323,2937,3729.
点评:本题主要考查了整数的整除性问题,得到198能被(x+y)整除,进而得到x,y的取值范围是解题的关键.
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