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    操作与探究

    我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件。

    （1）分别测量下面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现.

    (2) 如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合下面的两个图说明其中的道理.（提示：考虑）

    由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.

     

    【答案】

    （1）对角互补（对角之和等于）；(2) 图1中， ；图2中，；

    过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补（对角之和等于）.

    【解析】

    试题分析：(1)通过测量，过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之和等于180°.

    (2) 如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间没有上面的关系，要么相对两角之和大于180°，如图2，要么两角之和小于180°如图1.总之，过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补（对角之和等于）

    试题解析：（1）对角互补（对角之和等于）

    (2) 图1中， 

    图2中，

    过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是:对角互补（对角之和等于）

    考点: 圆的内切四边形.

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
    （1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．

    （2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）

    由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    作业宝（1）阅读理解：
    我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，
    “宽臂”的宽度=PQ=QR=RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．
    下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
    第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；
    第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；
    第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．
    请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线______、______．
    （2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：
    ∵______，BQ⊥PR，
    ∴BP=BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）
    ∴∠______=∠______．
    ∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
    ∴∠______=∠______．
    （角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
    ∴∠______=∠______=∠______．
    （3）在（1）的条件下探究：数学公式是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出数学公式（无需写画法，保留画图痕迹即可）．

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