Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx-2经过（2，1）和（6，-5）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，点P是在直线x=4右侧的此抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似，求点P的坐标；
（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

（1）把（2，1）和（6，-5）两点坐标代入得

4a+2b-2=1 36a+6b-2=-5.

，
解这个方程组，得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
故抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；

（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．
解这个方程，得x₁=1，x₂=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=-2．
∴C（0，-2）．
设P（m，-

1

2

m2+

5

2

m-2）．
因为∠COB=∠AMP=90°，
①当

OC

MA

=

OB

MP

时，△OCB∽△MAP．
∴

2

m-1

=

4

1 2 m2- 5 2 m+2

．
解这个方程，得m₁=8，m₂=1（舍）．
∴点P的坐标为（8，-14）．
②当

OC

MP

=

OB

MA

时，△OCB∽△MPA．
∴

2

1 2 m2- 5 2 m+2

=

4

m-1

．
解这个方程，得m₁=5，m₂=1（舍）．
∴点P的坐标为（5，-2）．
∴点P的坐标为（8，-14）或（5，-2）；

（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，则以OB，BE，EF为对角线作出来图形，可得到4个菱形；得出点F的坐标为(

8

5

5

，

4

5

5

)或(-

8

5

5

，-

4

5

5

)或(

8

5

，-

16

5

)或（2，1）．