Question

已知：如图，⊙O的直径AD=2，

BC

=

CD

=

DE

，∠BAE=90度．
（1）求证：AB=BC；
（2）求五边形ABCDE的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）连接BE，根据∠BAE=90°可知BE是⊙O的直径，故可得出

BC

+

CD

+

DE

=90°，再根据

AB

+

BC

+

CD

=90°可得出

AB

=

DE

，再由

BC

=

CD

=

DE

可得出

AB

=

BC

，由此可得出结论．
（2）过B作BF⊥AC，垂足为F，先根据ASA定理得出△ACD≌△AED，再求出S_△ACD=S_△AED=

1

2

AC•CD=

3

2

，由S_{五边形ABCDE}=S_△ABC+2S_△ACD=即可得出结论．

解答：（1）证明：连接BE，
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径，
∴

BC

+

CD

+

DE

=90°．
∵

AB

+

BC

+

CD

=90°，
∴

AB

=

DE

．
∵

BC

=

CD

=

DE

，
∴

AB

=

BC

，
∴AB=BC；

（2）解：连接BD，
∵

CD

=

DE

，
∴∠CAD=∠EAD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=∠AED=90°．
在△ACD与△AED中，

∠CAD=∠EAD AD=AD ∠ACD=∠AED

，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∵在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=30°，
∴CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=

3

，
∴S_△ACD=S_△AED=

1

2

AC•CD=

3

2

∵AD为直径，
∴∠ABD=90°
又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°，
∴∠BDA=30°
∴∠BCA=∠BDA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC
过B作BF⊥AC，垂足为F，
∴AF=

1

2

AC=

3

2

，
∴BF=AFtan30°=

1

2

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BF=

3

4

，
∴S_{五边形ABCDE}=S_△ABC+2S_△ACD=

3

4

+2×

1

2

×

3

=

5 3

4

．

点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．