Question

已知2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256…
（1）你能根据此推测出2⁶⁴的个位数字是多少？
（2）根据上面的结论，结合计算，试说明（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）的个位数字是多少？

Answer 1

解：（1）∵2⁶⁴=（2⁴）¹⁶，
∴2⁶⁴的个位数字是6；

（2）∵（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）…
=（2³²-1）（2³²+1）
=2⁶⁴-1，
∴（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）的个位数字是5．
分析：（1）由已知的一系列等式结果中个位数字规律，得到指数为4的倍数其个位数字都为6，利用幂的乘方运算法则将所求式子变形后，即可得到其个位数字为6；
（2）前两项利用平方差公式化简，再利用平方差公式化简，依此类推得到所求式子结果为2⁶⁴-1，由（1）得出2⁶⁴个位数字为6，即可得到所求式子个位数字为5．
点评：此题考查了整式的混合运算，属于规律型题，弄清题中的规律是解本题的关键．