已知抛物线经过A(-3,0),B(-1,0)两点(如图),顶点为M.
(1)a、b的值;
(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图),直线y=-2x+9与直线OM交于点D、现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时,Q点移至N点,求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积;
(3)设直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D(如图).现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时,试探求其顶点的横坐标的取值范围.
解:(1)抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点: ∴ 解得:a=1,b=4(4分) (2)由(1)求得抛物线的解析式为y=x2+4x+3, 配方得y=(x+2)2-1 ∴抛物线的顶点M(-2,1) ∴直线OD的解析式为y=x, 由方程组 解得 ∴D(,) 如图,由平移的性质知,抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积即为平行四边形MDNQ的面积,连接QD, ∴ =(6分) (3)由(2)知抛物线的顶点M(-2,1),直线OD的解析式为y=x,于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h,h),∴平移的抛物线解析式为y=(x-h)2+h. ①当抛物线经过点C时,∵C(0,9),∴h2+h=9,解得. ∴当时,平移的抛物线与射线CD没有公共点. ②当抛物线与直线CD没有公共点时,由方程组,消去y得: ,∴△,∴h>4. 此时抛物线与直线CD没有公共点.从而与射线CD没有共公点. 综上由①、②可知:平移后的抛物线与射线CD没有公共点时,顶点横坐标的取值范围是:或h>4(4分) |
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