Question

如图：y轴上正半轴上一点O₁为圆心的圆交两坐标轴与A、B、C、D四点，已知B（-3，0），AB=
（1）求O₁的坐标；
（2）过B作BH⊥AC于H交AO于E，求S_△BDE；
（3）作⊙O₁的内接锐角△BKJ，作BM⊥KJ与M，作JN⊥BK与N，BM、JK交于H点，当锐角△BKJ的大小变化时，给出下列两个结论：①BK²+JH²的值不变；②|BK²-JH²|的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先得到OA，再利用相交弦定理求出OD，最后得到OO₁，得到O₁的坐标．
（2）要先通过直角△OBE∽直角△OAB求出OE，再求面积．
（3）作含直径的直角三角形，通过两次相似以及等式的变化求出BK²+JH²的值．
解答：解：（1）∵AD垂直平分BC，OB=3，AB=，
∴OA=9；
又∵OA•OD=OB•OC，
∴OD=1，则AD=10，
∴O₁D=5，
∴O₁的坐标为（0，4）．

（2）连接BD，如图，
∵BH⊥AC，
∴∠1=∠2，而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴直角△OBE∽直角△OAB，
∴OB²=OE•OA，而OB=3，OA=9，
∴OE=1，则DE=2；
∴S_△BDE=×3×2=3

（3）结论①正确．证明如下：
过B点作直径BE，连EJ，如图；
∵BE是直径，
∴∠BJE=90°，
∵BM⊥KJ，
∴∠BMK=90°；
又∵∠K=∠E，
∴△BEJ∽△KBM，
∴，则；①
∵JN⊥BK，
∴∠MHJ=∠K=∠E，
∴直角△JHM∽直角△BEJ，
∴，则，②
由①，②得==1，而BE为直径等于10．
∴BK²+JH²=100．
点评：熟练掌握圆周角定理及其推论．熟悉三角形相似的判定和性质定理，对于较为复杂的问题，一定要认真分析题意和结论，使推理有方向．