Question

（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于

1

2

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△DAC：S_△ABC=1：3．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=

1

2

∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∴BC=CD+BD=

1

2

AD+AD=

3

2

AD，S_△DAC=

1

2

AC•CD=

1

4

AC•AD．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AC•

3

2

AD=

3

4

AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=

1

4

AC•AD：

3

4

AC•AD=1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．

点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．