Question

探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
（1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：∠A=∠D=∠BCE=90°，求证：△ABC∽△DCE；
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（-2，1），点B在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B的坐标；
②如图③，过点A（-2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据余角的性质就可以求出∠B=∠DCE，再由∠A=∠D=90°，就可以得出结论；
（2）①作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H，可以得出△AGO∽△OHB，可以得出

AG

OH

=

GO

BH

，设点B的坐标为（x，-2x+3），建立方程求出其解就可以得出结论；
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，设E（x，y），先可以求出C、D的坐标，进而可以求出DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，DE=AD=6，CE=AC=3．再由条件可以求出△DME∽△ENC，利用相似三角形的性质建立方程组求出其解就可以得出结论．

解答：（1）证明：∵∠BCE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠B=90°，
∴∠DCE=∠B．
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DCE；

（2）解：①作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H，
∴△AGO∽△OHB，
∴

AG

OH

=

GO

BH

．
∵A（-2，1），
∴AG=1，GO=2．
∵点B在直线y=-2x+3上，
∴设点B的坐标为（x，-2x+3），
∴OH=x，BH=-2x+3，
∴

1

x

=

2

-2x+3

，
∴x=

3

4

，
∴-2x+3=

3

2

，
∴B（

3

4

，

3

2

）；
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，
∵A（-2，1），
∴C点的纵坐标为1，D点的横坐标为-2，
∴1=-2x+3，y=-2×（-2）+3，
∴x=1，y=7，
∴C（1，1），D（-2，7）．
设E（x，y），
∴DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，
由对称可知：DE=AD=6，CE=AC=3．
∵∠M=∠N=∠DEC=90°，
∴△DME∽△ENC，
∴

DM

EN

=

ME

CN

=

DE

CE

，
∴

x+2 y-1 =2 7-y x-1 =2

，
∴解得：

x= 14 5 y= 17 5

∴E（

14

5

，

17

5

）．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，方程组的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质是关键．