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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线轴交于两点,与轴交于点

1)求抛物线的函数表达式;

2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点,求BPC面积的最大值;

3)若点Dy轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与相似,求点D的坐标;

4)若点E为抛物线的顶点,点F3a)是该抛物线上的一点,在轴、轴上分别找点MN,使四边形EFMN的周长最小,求出点MN的坐标.

【答案】1;(2BPC面积的最大值为 ;(3D的坐标为(01)或(0);(4M0),N0

【解析】

1)抛物线的表达式为:y=ax+1)(x-5=ax2-4x-5),即-5a=5,解得:a=-1,即可求解;

2)利用SBPC=×PH×OB=-x2+4x+5+x-5=x-2+,即可求解;

3BCD为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况,分别求解即可;

4)作点E关于y轴的对称点E′-29),作点F29)关于x轴的对称点F′3-8),连接E′F′分别交xy轴于点MN,此时,四边形EFMN的周长最小,即可求解.

解:(1)把分别代入得:

抛物线的表达式为:

2)如图,过点PPHOBBC于点H

x=0,得y=5

C05),而B50

设直线BC的表达式为:

,则

∴△BPC面积的最大值为

3)如图,C05),B50

OC=OB

∴∠OBC=∠OCB=45°

AB=6BC=

要使BCDABC相似

则有

D0

时,

CD=AB=6

D01

即:D的坐标为(01)或(0

4

E为抛物线的顶点,

E29

如图,作点E关于y轴的对称点E'(﹣29),

span>F3a)在抛物线上,

F38),

作点F关于x轴的对称点F'38),

则直线E' F'x轴、y轴的交点即为点MN

设直线E' F'的解析式为:

直线E' F'的解析式为:

0),N0).

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