【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点,求△BPC面积的最大值;
(3)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与相似,求点D的坐标;
(4)若点E为抛物线的顶点,点F(3,a)是该抛物线上的一点,在轴、轴上分别找点M、N,使四边形EFMN的周长最小,求出点M、N的坐标.
【答案】(1);(2)△BPC面积的最大值为 ;(3)D的坐标为(0,1)或(0,);(4)M(,0),N(0,)
【解析】
(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-5)=a(x2-4x-5),即-5a=5,解得:a=-1,即可求解;
(2)利用S△BPC=×PH×OB=(-x2+4x+5+x-5)=(x-)2+,即可求解;
(3)B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况,分别求解即可;
(4)作点E关于y轴的对称点E′(-2,9),作点F(2,9)关于x轴的对称点F′(3,-8),连接E′、F′分别交x、y轴于点M、N,此时,四边形EFMN的周长最小,即可求解.
解:(1)把,分别代入得:
∴
∴抛物线的表达式为:.
(2)如图,过点P作PH⊥OB交BC于点H
令x=0,得y=5
∴C(0,5),而B(5,0)
∴设直线BC的表达式为:
∴
∴
设,则
∴
∴
∴
∴△BPC面积的最大值为.
(3)如图,∵ C(0,5),B(5,0)
∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴AB=6,BC=
要使△BCD与△ABC相似
则有或
①当时
∴
则
∴D(0,)
② 当时,
CD=AB=6,
∴D(0,1)
即:D的坐标为(0,1)或(0,)
(4)∵
∵E为抛物线的顶点,
∴E(2,9)
如图,作点E关于y轴的对称点E'(﹣2,9),
∵span>F(3,a)在抛物线上,
∴F(3,8),
∴作点F关于x轴的对称点F'(3,8),
则直线E' F'与x轴、y轴的交点即为点M、N
设直线E' F'的解析式为:
则
∴
∴直线E' F'的解析式为:
∴,0),N(0,).
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为( )
A. 56° B. 62° C. 68° D. 78°
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【题目】如图,已知AF=AB,∠FAB=60°,AE=AC,∠EAC=60°,CF和BE交于O点,则下列结论:①CF=BE;②∠COB=120°;③OA平分∠FOE;④OF=OA+OB.其中正确的有_____.
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【题目】为推进“全国亿万学生阳光体育运动”的实施,组织广大同学开展健康向上的第二课堂活动.我市某中学准备组建球类社团(足球、篮球、羽毛球、乒乓球)、舞蹈社团、健美操社团、武术社团,为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况,该校随机抽取部分初中生进行了“你最喜欢哪个社团”调查,依据相关数据绘制成以下不完整的统计表,请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)求样本容量及表格中、的值;
(2)请补全统计图;
(3)被调查的60个喜欢球类同学中有3人最喜欢足球,若该校有3000名学生,请估计该校最喜欢足球的人数.
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【题目】随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,某研究小组随机采访该小区的10位居民,得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.
(1)这组数据的中位数是 ,众数是 ;
(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数;
(3)若该小区有200名居民,试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.
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【题目】全面二孩政策于2016年1月1日正式实施,黔南州某中学对八年级部分学生进行了随机问卷调查,其中一个问题“你爸妈如果给你添一个弟弟(或妹妹),你的态度是什么?”共有如下四个选项(要求仅选择一个选项):
A.非常愿意 B.愿意 C.不愿意 D.无所谓
如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请结合图中信息解答以下问题:
(1)试问本次问卷调查一共调查了多少名学生?并补全条形统计图;
(2)若该年级共有450名学生,请你估计全年级可能有多少名学生支持(即态度为“非常愿意”和“愿意”)爸妈给自己添一个弟弟(或妹妹)?
(3)在年级活动课上,老师决定从本次调查回答“不愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法,而本次调查回答“不愿意”的这些同学中只有一名男同学,请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率.
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【题目】国防教育和素质拓展期间,某天小明和小亮分别从校园某条路的A,B两端同时相向出发,当小明和小亮第一次相遇时,小明觉得自己的速度太慢便决定提速至原速的倍,当他到达B端后原地休息,小亮匀速到达A端后,立即按照原速返回B端(忽略掉头时间).两人相距的路程y(米)与小亮出发时间t(秒)之间的关系如图所示,当小明到达B端后,经过_____秒,小亮回到B端.
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【题目】如图,在中,是直径,点是上一点,点是弧的中点,于点,过点的切线交的延长线于点,连接,分别交,于点.连接,关于下列结论:① ;②;③点是的外心,其中正确结论是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【题目】如图,已知PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.C是⊙O上一个动点.且不与A,B重合.若∠PAC=α,∠ABC=β,则α与β的关系是_______.
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