Question

8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在边BA上以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边CB上以$\sqrt{3}$cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t s（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t值．
（2）若△MBN和△ABC相似，求t的值．
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出AB=10，BC=5$\sqrt{3}$．由题意知：BM=2t，CN=$\sqrt{3}$t，BN=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，由BM=BN得出方程2t=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，解方程即可；
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积-△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=10，BC=5$\sqrt{3}$．     
由题意知：BM=2t，CN=$\sqrt{3}$t，
∴BN=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∵BM=BN，
∴2t=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
解得：t=10$\sqrt{3}$-15；

（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，
$\frac{MB}{AB}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{2t}{10}$=$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{5\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{5}{2}$；
②当△NBM∽△ABC时，
$\frac{NB}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$，即$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{10}$=$\frac{2t}{5\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{15}{7}$．
综上所述：当t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{15}{7}$时，△MBN与△ABC相似；

（3）如图所示，过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，
∴△BMD∽△BAC，
∴$\frac{MD}{AC}$=$\frac{BM}{AB}$，即$\frac{MD}{5}$=$\frac{2t}{10}$，
解得：MD=t．
设四边形ACNM的面积为y，则
y=$\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）×t=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$-$\frac{5}{2}\sqrt{3}$t+$\frac{25}{2}\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75}{8}$$\sqrt{3}$，
∴根据二次函数的性质可知，当t=$\frac{5}{2}$时，y的值最小，
此时y_min=$\frac{75}{8}\sqrt{3}$．

点评 本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算的综合应用．证明三角形相似是解决问题的关键，解题时注意分类思想的运用．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．